Matematyka wygrywa w ruletkę

ruletka“Martyngałowa strategia gry w ruletkę” – brzmi strasznie. Ale to tylko nazwa, pod którą kryje się niespecjalnie skomplikowany, za to ciekawy mechanizm. A żeby go zrozumieć, wcale nie potrzeba znać szczegółów wyższej matematyki – wystarczy tylko odrobina logiki i kilka pojęć.

“Procesem stochastycznym” nazywamy w matematyce wielokrotne następowanie po sobie zdarzeń, co do których możemy zmierzyć prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego wyniku. Przykładowo, takim procesem jest wielokrotny rzut kostką do gry – za każdym kolejnym rzutem prawdopodobieństwo wypadnięcia, dajmy na to, trójki, wynosi 1/6 – albo symetryczną monetą – wówczas i orzeł i reszka mają prawdopodobieństwo wypadnięcia 1/2. Jeżeli możliwe wyniki takiego zdarzenia zapiszemy w postaci liczb, to możemy policzyć tzw. wartość oczekiwaną, czyli średnią wszystkich możliwych wyników z wagami proporcjonalnymi do prawdopodobieństwa. Przykładowo, wartość oczekiwana rzutu kostką wynosi 3, 5 – każda ze ścianek ma takie samo prawdopodobieństwo wypadnięcia, więc wystarczy policzyć średnią z liczb 1, 2,3, 4,5 i 6. Gdyby kostka była nierówna i ścianka z trzema oczkami miałaby dwukrotnie wyższą szansę na wypadnięcie, wartość oczekiwana wzrosłaby do 4, ponieważ liczbę 3 w średniej liczylibyśmy z wagą 2. Oczywiście, jeżeli w procesie stochastycznym znamy wyniki zdarzeń do pewnego momentu, to możemy liczyć wartość oczekiwaną dla następnego zdarzenia (nazywa się to “warunkową wartością oczekiwaną”). Może się zdarzyć tak, że owa warunkowa wartość oczekiwana wyjdzie nam równa wynikowi ostatniego zdarzenia, które znamy. Jeżeli dzieje się tak za każdym następnym zdarzeniem, to mamy do czynienia ze szczególnym rodzajem procesu, który nazywa się martyngałem.

Słowo “martyngał” wywodzi się z języka francuskiego, a do matematyki przeszło z XVIII-wiecznych kasyn, gdzie oznaczało właśnie strategię gry hazardowej. Strategia, której poświęcony jest ten artykuł, może być stosowana nie tylko w ruletce – tak samo będzie działać w przypadku rzutu monetą, czy jakiejkolwiek innej gry, w której z równym prawdopodobieństwem możemy wygrać lub przegrać taką samą ilość pieniędzy. W ruletce przy tej strategii obstawiamy za każdym razem te same pola dające prawie 1/2 szans na wygraną – czyli np. kolor albo parzyste/nieparzyste; prawdopodobieństwa dokładnie 1/2 nigdy nie osiągniemy ze względu na pole 0, które uniemożliwia obstawienie połowy pól. Za pierwszym razem obstawiamy 1 (w ten sposób oznaczamy pewną początkową wartość – nie musi to być konkretnie 1 złoty czy dolar), a za każdym następnym podwajamy stawkę, aż do momentu pierwszej wygranej. Wówczas kończymy grę. Jak łatwo policzyć, na koniec zawsze wygramy 1 (tzn. będziemy na plus o tyle, ile postawiliśmy w pierwszej grze) – jeśli wygramy za pierwszym razem, to po prostu wygraliśmy 1, natomiast w pozostałych przypadkach przegrywamy pewną sumę pierwszych potęg dwójki, by na końcu wygrać większą potęgę – suma strat i zysków wyniesie zawsze 1, czyli będziemy na plus. Proces opisujący nasz zysk (lub stratę) po kolejnych grach jest martyngałem – bo w danym momencie mamy równe szanse na zdobycie i utratę tej samej ilości pieniędzy, zatem warunkowa wartość oczekiwana jest równa obecnemu zyskowi/stracie.

ruletka online

Oczywiście, w praktyce nie wygląda to aż tak pięknie. Prawdopodobieństwo 1/2 oznacza, że średnio co drugą grę powinniśmy wygrać – ale nie musimy. Mając wyjątkowego pecha możemy przegrać przykładowo 13 gier z rzędu – wówczas mamy stratę równą 8191. W takiej sytuacji w czternastej grze stawiamy 8192 i przy wygranej znika nam cała strata i dodatkowo zyskujemy 1, natomiast przy przegranej nasza strata powiększa się już do 16383; pamiętajmy również, że 13 przegranych z rzędu wcale nie oznacza, że w czternastej grze mamy większą szansę na wygraną – wynosi ona bowiem ciągle 1/2. Jak widać, może zatem dojść do sytuacji, w której przy pechu stosunkowo szybko wyczyścimy swój portfel – zwłaszcza, jeżeli za pierwszym razem obstawimy dużo w stosunku do tego, ile łącznie posiadamy. A w takiej sytuacji strategia już nas nie ratuje, ponieważ zwyczajnie nie stać nas na obstawienie odpowiedniej kwoty. Poza tym zysk po użyciu strategii nigdy nie będzie większy niż 1 – powstaje pytanie, czy ryzyko dla tak małego zysku jest opłacalne.

Podsumowując – martyngałową strategię w ruletce należy traktować bardziej jako ciekawostkę niż sposób na zdobycie pieniędzy. Niemniej jednak poznawanie tego typu strategii i procesów, związanych z prawdopodobieństwem, pozwala lepiej zrozumieć pewne zdarzenia zachodzące w otaczającym nas świecie, a zwłaszcza tych które wydają się przeczyć naszej intuicji.